R/. Es un conjunto de objetos, a los que se les llama vectores que cumplen con dos operaciones definidas, la suma y la multiplicación por un escalar y que están sujetas a 10 axiomas.
Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.
R/. 1. la suma es una operacion interna: ´ u + v ∈ V
2. la suma es conmutativa: u + v = v + u
3. la suma es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) = u + v + w
4. elemento neutro de la suma: ∃0 ∈ V | v + 0 = v, ∀v ∈ V
5. elemento inverso en la suma: ∀v ∈ V , ∃v
0 ∈ V | v + v
0 = 0, se escribe v
0 = (−v)
6. la multiplicacion por un escalar produce un vector: ´ cv ∈ V
7. distributividad I: c (u + v) = cu + cv
8. distributividad II: (c + d)v = cv + d v
Qué es un subespacio vectorial?
R/. Es un subconjunto de un espacio vectorial que debe cumplir con los mismos axiomas de un espacio vectorial
1. El vector cero de V está en H.2
2. H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está en H.
3. H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
Dimensión de un subespacio: Es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en un subespacio. Dicho de otra forma es el rango máximo que puede tener un conjunto de vectores pertenecientes a dicho subespacio.
Rango: El rango de un subespacio es igual a la dimensión del subespacio, por eso se tiene que la dimensión de un subespacio S es igual al rango R. Dim S = r.
(Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)
Base: La base de un subespacio, al igual que la de un espacio vectorial es aquel sistema que puede generar dicho subespacio y que a su vez es lienalmente independiente.
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